domingo, 19 de octubre de 2014
miércoles, 9 de abril de 2014
jueves, 5 de diciembre de 2013
Eval. Conceptual 5to. año Numeraciòn.
UN APORTE PARA LA REFLEXIÒN A PARTIR DE LA
EVALUACIÒN CONCEPTUAL
Se
agradece la colaboración de las maestras:
Maestras: Claudia Giménez
Patricia Betancourt
Natalia Gallego
María Noel Vignolo
EVALUACIÓN CONCEPTUAL
Marzo 2013
NIVEL:
3er. nivel
GRADO:
5º AÑO
ÁREA
DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO
CAMPO
DISICIPLINAR: NUMERACIÓN
CONCEPTOS:
Número – Sistema de numeración decimal – Valor posicional y relativo
PROPÓSITO:
generar
instancias de evaluación que favorezcan el conocimiento y la reflexión acerca
de los diferentes niveles conceptuales en el campo de la numeración natural
(sistema de numeración decimal)
INSTRUMENTO
DE EVALUACIÓN
_531
_326
1) Coloca delante del primer número un 2 y coloca delante del segundo
número un 4.
2) Vuelve a trabajar con los dos números iniciales (531 y 326). Coloca el 2
al final del primero y el 4 al final del segundo.
3) Compara los números obtenidos en 1) y 2). ¿Encuentras diferencias?
Explícalas.
Categorías
de análisis:
- Se refieren a la cantidad de cifras del número.
- Reconocen que las cantidades mayores están a la izquierda de las
menores.
-Identifican que en números de
igual cantidad de cifras “el primero es el que manda”.
- Aluden a que el valor de las cifras depende del valor que ésta ocupe
en el número.
-Descomponen en unidades, decenas, centenas y unidad de mil.
- Reconocen el valor de las cifras en orden decreciente
-Aluden al orden.
- Identifican intuitivamente que los cuatro números son diferentes
- Ubican la cifra que debían agregar en forma arbitraria.
-Reconocen la diferencia entre los números en forma arbitraria.
Niveles
de conceptualización:
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Hacen alusión a que los
números tienen igual cantidad de cifras. Reconocen que las cifras en nuestro
sistema de numeración se escriben de izquierda a derecha en orden decreciente
(las cantidades mayores están a la izquierda de la menores). Establecen
hipótesis de jerarquía en la comparación entre números de igual cantidad de
cifras al aludir que “el primero es el
que manda”.
Establecen el orden en
los números haciendo referencia a la posicionalidad en nuestro sistema de
numeración (el valor de una cifra depende del lugar que está ocupe en el
número). Aluden a la recursividad (los números se forman con la recurrencia
de cifras ordenadas del 0 al 9 en los distintos órdenes). Realizan descomposición
factorial como procedimiento para explicar.
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Se refieren a la cantidad
de cifras. Reconocen la escritura de las cifras en orden decreciente de
izquierda a derecha. Establecen hipótesis de jerarquía. Algunos aluden al
orden.
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Reconocen que las cifras
se escriben de izquierda a derecha en orden decreciente. Establecen hipótesis
de jerarquía.
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Identifican
intuitivamente que los números son diferentes sin argumentos o ubican las
cifras dadas en forma arbitraria.
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Análisis interpretativo de los niveles de
conceptualización
La primera
puntualización relevante a realizar se encuentra relacionada con la importancia
de la elección del sistema de numeración como un objeto de enseñanza de la
formación matemática en la escuela. En este sentido, Flavia Terigi y Susana
Wolman señalan que: “El SN es el primer sistema matemático convencional con que
se enfrentan los niños en la escuela, y constituye el instrumento de mediación
de otros aprendizajes matemáticos. En consecuencia, la calidad de los
aprendizajes que los niños puedan lograr en relación con este objeto cultural
es decisiva para su trayectoria escolar
posterior” (1)
La
interpretación de los diferentes niveles de conceptualización, vinculados a las
distintas categorías, favorece la toma de decisiones didácticas, promoviendo a partir de ellas la construcción posterior de una propuesta de
enseñanza que promueva la aproximación significativa al sistema de numeración
decimal.
En
el análisis interpretativo de la evaluación realizada, el primer dato relevante
que surge es que la gran mayoría de los alumnos realizan la comparación entre
números basados en el reconocimiento de la cantidad de cifras y en el
establecimiento de hipótesis de jerarquía. Asimismo, un número menor, pero no
por ello menos relevante, únicamente demuestran identificar la diferencia entre
números de manera intuitiva, sin mediar argumentos que puedan justificar el
procedimiento realizado.
En
otras palabras, la mayoría de los alumnos evidencian conocer la designación de
“los lugares de cada cifra” y comparan números, reconociendo que el número
mayor es aquel que tiene más cifras y que en aquellos que tienen la misma
cantidad, es mayor el que tiene la
primera cifra más grande (“el primero es el que manda”). Sin embargo, no todos
reconocen el valor posicional de cada uno de los órdenes, y un grupo menor
puede argumentar este conocimiento realizando la descomposición factorial.
Esta situación puede encontrar una explicación
en el planteo que realiza María Claudia Fernández (Sistema de numeración.
Segundo ciclo): “cuando se les propone a los alumnos situaciones en las que se
pretende definir distintos órdenes, presentación de un modelo demostrando el
procedimiento adecuado y ejercitaciones para
“ fijar” el concepto, los alumnos”(…) podían realizar mecánicamente y el
éxito estaba asegurado con la memorización del orden de los lugares que podía
ocupar una cifra en el número, pero no comprendían las operaciones que estaban
involucradas en su escritura, sino que establecían una correspondencia con el
nombre de la posición, (…) el conocimiento que se ponía en funcionamiento para
resolver dichos ejercicios no era el valor de cada cifra de acuerdo con la
posición que ocupaba el número (lo que implicaba comprender la multiplicación
por la base decimal) sino el nombre de esa posición. Cuando el docente emitía
un juicio sobre el aprendizaje del valor posicional en sus alumnos, en realidad
sólo estaba valorando el conocimiento de un procedimiento que le permita
identificar el nombre y el lugar de cada orden”
A la
luz del marco teórico expuesto se plantea la posibilidad de que la experiencias
de los alumnos en el este campo se hayan encontrado vinculadas a este tipo de
actividad, en la que el eje de las mismas es la “explicación acerca de las
unidades, decenas, centenas y unidades”; con lo cual no se promovió la
comprensión de las regularidades del sistema de numeración decimal.
Desde
el lugar de docente, se reconoce que no alcanza para la comprensión del valor
posicional, con que los alumnos aprendan las posiciones de cada orden, pero también
se asume la responsabilidad y se reconoce cierta dificultad en la elaboración e
implementación de propuestas que apunten a trascender esta realidad.
Por
otra parte, en algunas ocasiones los
materiales y procedimientos que se utilizan tienden a “deformar el objeto de
conocimiento, (…) e impiden que los niños utilicen los conocimientos que ya han
construido en relación con el sistema de numeración” (Delia Lerner). Por este motivo, puede resultar de
relevancia el realizar una revisación reflexiva acerca de qué materiales se
emplean y con qué objetivo, para así superar estas situaciones.
Cabe señalar, que en ciertas
instancias el fin primordial será propiciar la comprensión de las reglas del
sistema de numeración posicional decimal,
independientemente de los modelos físicos que se utilicen, más allá de
lo que se considera como “problemas de la vida cotidiana”, es decir presentar
propuestas en contextos intramatemáticos, que apunten a la reflexión de las
regularidades que subyacen a él.
Asimismo,
es importante tener presente que muchas veces los números se utilizan como
códigos, careciendo de sentido cardinal, ordinal y algorítmico (reglas del
sistema de numeración decimal), como por ejemplo; número de C.I, de teléfono,
teclas de la calculadora, etc. Generando espacios para la reflexión con los
alumnos, de tal manera que se pueda reconocer las diferencias de ambas
situaciones (cuando lo uso de una y otra forma).
Por
otra parte, un dato relevante a interpretar,
es que un grupo de alumnos evidenció un nivel de conceptualización que
les permitió realizar la propuesta empleando argumentos pertinentes,
evidenciando comprensión de regularidades, de la recursividad del
agrupamiento, así como de los principios que rigen el sistema y las operaciones
subyacentes a la notación numérica.
Esto puede significar que los
alumnos se vieron enfrentados a propuestas que propiciaron la
construcción del conocimiento acerca de las razones que hacen al funcionamiento
del sistema de numeración. Frente a ello surge la interrogante de por qué este
nivel de conceptualización está representado por la cantidad menor de alumnos.
Resulta difícil la interpretación, debido a la multicausalidad de la realidad
educativa, pero si se puede plantear como supuestos explicativos, la incidencia
de dos variables que se deberán considerar: la recurrencia en el trabajo con
los contenidos referidos a este campo disciplinar y la diversificación de
propuestas, de estrategias y recursos,
que atiendan a la diversidad de las potencialidades y los distintos
niveles de conceptualización de los alumnos.
Proyecciones
Se
tratará de propiciar propuestas que favorezcan la búsqueda personal de
procedimientos frente a la resolución de situaciones que pongan en juego
las herramientas del alumno. Para ello es importante generar espacios en los
cuales los problemas que se les planteen les impliquen elaborar procedimientos,
así como relacionar sus concepciones con las regularidades que vayan
descubriendo en la organización de los números.
Esta elaboración se
va realizando a partir de propuestas en las que se enfrente a la comparación de
números (igual y distinta cantidad de
cifras) y también al trabajo con una amplitud de sectores de la serie numérica,
lo cual permite, como postulan Flavia Terigi y
Susana Wolman: “introducirse en la
búsqueda de las razones que hacen al funcionamiento de dichas regularidades. En
efecto, sólo tiene valor preguntarse por las razones de las regularidades una
vez que éstas han sido elaboradas por los alumnos. Las razones explican las
regularidades porque dependen, precisamente, de las operaciones que
subyacen a la organización del SN, y su
comprensión supone para el niño la construcción de una red de conocimientos a
lo largo de un tiempo prolongado de aprendizaje”.
Por
otra parte, es de fundamental importancia el plantear actividades que favorezcan
la diferencia de dos entornos distintos de la numeración, el oral y el escrito.
Esto resulta esencial, ya que se debe tener en cuenta que la serie numérica
oral no es estable y no evidencia siempre la posicionalidad de la serie
escrita. Asimismo en la escritura, a cada cambio de orden, hay un cambio de posición. Mientras que en la
oralidad, los cambios de orden no se corresponden con cambios de nombres. Esto
además promoverá la resignificación de los conceptos de cardinalidad y ordinalidad.
En otro orden, es fundamental destacar el rol
que cumplirán las instancias de puesta en común, en las cuales se buscará la
confrontación de las diferentes concepciones y “caminos”, que van surgiendo en
los procesos de resolución de cada uno y que enriquecen al grupo en ese ámbito
de intercambio. Como señala Beatriz Ressia de Moreno (La enseñanza del número y
del sistema de numeración en el nivel inicial y el primer año de la E.G.B):
“Comunicar una resolución permite hacer explícito lo implícito y hace posible
el reconocimiento de ese conocimiento por parte del sujeto. Informar sobre lo
producido implica necesariamente la reconstrucción de la acción realizada”.
Finalmente, es significativo destacar la
necesidad de considerar en la planificación de la secuencia de numeración, el
trabajo con contenidos en el campo disciplinar de diferentes grados, que
permitirán no solo atender las diferentes potencialidades de los alumnos, sino
enfrentar con una perspectiva globalizadora las dificultades que revelaron la
evaluación. Asimismo, se buscará conectar ciertas propuestas de este campo con
algunas relacionadas con el campo de las Operaciones, para que los alumnos
puedan comprender el sentido de los conocimientos matemáticos, desde un nivel sintáctico, promoviendo la
reflexión, por ejemplo, de cómo funciona un algoritmo (por qué “me llevo”),
todo ello en pro de la significatividad de sus aprendizajes.
Secuencia
de contenidos:
Composición
y descomposición aditiva y factorial Comparación
de igualdades Serie
numérica Divisibilidad:
- Múltiplos
y divisores
- 2,
5, 4,8,100, 3, 6, 1000
- Números
primos y compuestos
Otros
sistemas de numeración posicional (sistema binario)
Bibliografía:
A.N.E.P, Programa de Educación Inicial y
Primaria 2008
Cid, Eva; Godino, Juan; Batanero, Carmen (2003).
Sistemas numéricos y su didáctica para maestros. Proyecto Edumat-Maestros.
Chamorro, María del Carmen (2003). Didáctica de
las Matemáticas. Capítulo 4. Madrid. Pearson Educación.
Curti, María del Carmen; Damisa, Carla (2009).
Conceptos matemáticos: Número natural. Montevideo. Editorial Aula.
Fernández, María Claudia. Sistema de numeración.
Segundo ciclo.
Lerner, Delia (1999). Reflexiones sobre uso del
material concreto en Matemáticas. Problemas de la vida cotidiana. En Revista
Quehacer Educativo Nº34. Montevideo. FUM.TEP.
Ressia de Moreno, Beatriz (2003). La enseñanza
del número y del sistema de numeración decimal en el nivel inicial y el 1er
ciclo de la EGB. En Panizza, Mabel (comp). Enseñar matemáticas en el nivel
inicial y el primer ciclo de la EGB. Buenos Aires. Editorial Paidós.
Terigi
Flavia y Wolman Susana, "Sistema de numeración: consideraciones acerca de
su enseñanza" revista iberoamericana de educación. N.º 43 (2007)
domingo, 27 de octubre de 2013
Acuerdo Nacional de Educaciòn Inicial- Inspectora Rosa Lezuè. MATEMÀTICA
http://www.calameo.com/read/00260096377efb0f6c8ef?authid=0ocEitEZlAge
Libro de matemàtica
Este enlace te lleva a un libro muy ineresante, que te ayudarà en tus pràcticas de Matemàtica.
Profesor: JuanD.Godino "MATEMÀTICA PARA MAESTROS
http://www.google.com.uy/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&ved=0CFcQFjAE&url=http%3A%2F%2Furuguayeduca.edu.uy%2FUserfiles%2FP0001%2FFile%2FM-para%2520Maestros-Godino-Sistemas%2520Num%25C3%25A9ricos.pdf&ei=MnZtUr-HMpOekAei2YHYAQ&usg=AFQjCNE8egb4VLKtQJzqqp_jrd5Ow1zNBA&sig2=SP18uB1c_ZnDvgCkG_bAkg&bvm=bv.55123115,d.eW0&cad=rja
En este enlace puedes acceder al libro " Cuadernos de estudios II" donde encuentras informaciòn didàctico- disciplinar del nùmero racional
http://www.uruguayeduca.edu.uy/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=202848#.Um1z1609elc.google_plusone_share
Historia de la numeraciòn.
Cuando los hombres empezaron a contar
usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas
otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la
cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos.
Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez simbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos.
Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez simbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.
Sistemas de Numeracion Aditivos
Para ver cómo es la forma de
representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cada
unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de
arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico
específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de
decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están físicamente
presentes.
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición.
Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes.
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición.
Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes.
El Sistema de Numeración Egipcio
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema describir
los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para
representar los distintos ordenes de unidades.
Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.
Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.
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Al ser indiferente el orden se escribían a veces
según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos
correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo
número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela
en Karnak.
Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas |
En estos sistemas de escritura los grupos de signos
adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para
20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... Con lo que disminuye el
número de signos necesarios para escribir una cifra.
El Sistema de Numeración Griego
El primer sitema de numeración griego se desarrolló hacia el
600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura
siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como
fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.
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Para representar la unidad y los números hasta el
4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras
correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil
(khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
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Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el
signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo.
Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba
las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la
tabla siguiente
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De esta forma los números parecen
palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen
un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que
las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina
mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas
sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el
estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una
disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.
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Sistemas de Numeracion Híbridos
En estos sistemas se combina el principio
aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos
recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación
del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los
números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el
0. Para representar el 703 se usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3.
El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070 ...
Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y el cingalés.
El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070 ...
Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y el cingalés.
El Sistema de Numeración Chino
La forma clásica de escritura de los números en China se
empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal
estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los
ideogramas de la figura
y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.
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Tradicionalmente se ha escrito de
arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo
de la figura. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se
pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se
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suprimían los correspondientes a las potencias de 10.
Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.
Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.
Sistemas de Numeración
Posicionales
Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas ... o en general la potencia de la base correspondiente.
Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.
Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin mas que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India desde el sss. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.
El Sistema de Numeración
Babilónico
Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la
antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el
ssss A.C. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional
para números superiores.
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Para la unidad se usaba la marca
vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como
fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.
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De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.
A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.
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Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base
auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos
servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los
puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas,
y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.
Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.
Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.
El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días.
Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.
Santiago Casado
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