Cuando los hombres empezaron a contar
usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas
otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la
cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la
misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca
distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue
añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número
anterior y se añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un
número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base
auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10,
se añade una de tercer orden y así sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según
todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay
alguna excepción notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60
como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna
irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han
contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma
forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números
ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico
por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los
números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros,
pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros
requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos.
Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan
sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados
que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó
a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los
profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre
ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser
un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan
sencilla.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa
por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que
suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno
de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue
la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en
el que sólo diez simbolos puedan representar cualquier número por grande que
sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.
Sistemas de Numeracion Aditivos
Para ver cómo es la forma de
representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cada
unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de
arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico
específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de
decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están físicamente
presentes.
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de
todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número.
Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en
cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición.
Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base
60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los
griegos, armenios, judíos y árabes.
El Sistema de Numeración Egipcio
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema describir
los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para
representar los distintos ordenes de unidades.
Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir
indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando
la orientación de las figuras según el caso.
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Al ser indiferente el orden se escribían a veces
según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos
correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo
número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela
en Karnak.
Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto
al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones
monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y
demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los
escribas
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En estos sistemas de escritura los grupos de signos
adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para
20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... Con lo que disminuye el
número de signos necesarios para escribir una cifra.
El Sistema de Numeración Griego
El primer sitema de numeración griego se desarrolló hacia el
600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura
siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como
fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.
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Para representar la unidad y los números hasta el
4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras
correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil
(khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
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Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el
signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo.
Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba
las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la
tabla siguiente
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De esta forma los números parecen
palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen
un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que
las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina
mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas
sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el
estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una
disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.
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Sistemas de Numeracion Híbridos
En estos sistemas se combina el principio
aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos
recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación
del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los
números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el
0. Para representar el 703 se usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3.
El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para
evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya
que si los signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares,
pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo
las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es
necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no
se confundan el 307 con 370, 3070 ...
Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio,
arameo, etíope y algunos del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y
el cingalés.
El Sistema de Numeración Chino
La forma clásica de escritura de los números en China se
empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal
estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los
ideogramas de la figura
y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar
y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó
3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría
representar 57 que 75.
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Tradicionalmente se ha escrito de
arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo
de la figura. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se
pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se
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suprimían los correspondientes a las potencias de 10.
Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras.
Para los documentos importantes se usaba
una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En
los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta
dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las
variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema
posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por
influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.
Sistemas de Numeración
Posicionales
Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los
posicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas,
centenas ... o en general la potencia de la base correspondiente.
Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un
sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron
al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo
completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no
eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para
los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad
y la decena. El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese
representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una
irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las
veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al
calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.
Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema
tal y como hoy lo conocemos, sin mas que un cambio en la forma en la que
escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a
nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y
documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como
finales en la India desde el sss. Los árabes transmitieron esta forma de
representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque
tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran
resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas
eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente
la ciencia hubiese podido avanzar.
El Sistema de Numeración
Babilónico
Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la
antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el
ssss A.C. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional
para números superiores.
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Para la unidad se usaba la marca
vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como
fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.
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De este se usaban los que fuera necesario completando con las
unidades hasta llegar a 60.
A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los
grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60,
60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base
auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos
servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los
puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas,
y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.
Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en
realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras
de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra
por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado.
Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por
el orden de magnitud mayor.
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la
presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades
de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece
haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron
simplemente para indicar la ausencia de otro número.
Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la
observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las
fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la
cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360
para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.
El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno
de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía
que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema
numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en
el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días.
Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para
el cálculo y aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron
notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.
Santiago Casado
